Un Guinéen publie une formule mathématique qui met fin à une vieille recherche de plus de 2 000 ans

Ce mercredi 6 avril, guinee7.com est parti à la rencontre d’un Guinéen qui vient de réussir là où les plus brillants esprits scientifiques ont échoué. Nous vous livrons le contenu de l’entretien et le contenu de l’article scientifique en français et en anglais.

Guinee7.com : Pourquoi une vieille recherche de plus de 2 000 ans, comment vous y êtes arrivés ?

M. Guillaume Hawing: Merci pour cet entretien. Une vieille recherche, parce que la problématique date depuis Euclide, 200 ans avant le Christ. J’ai réussi, parce que j’ai observé encore et encore et j’ai refusé d’être contaminé par la façon de voir des autres.

Pourquoi avez-vous finalement décidé de publier votre formule, pourtant vous sollicitiez un super ordinateur pour générez les nombres premiers?

La répartition des Nombres Premiers est une vieille recherche de plus de 2 000 ans. Réussir un schéma simple qui organise la répartition des nombres premiers fait partie du rêve de tous les mathématiciens professionnels. Les nombres premiers sont l’hydrogène et l’oxygène du monde des nombres. Ce sont les atomes, les briques des mathématiques. Au sujet de ces nombres, Gauss, Prince des maths, disait ‘‘Il n’existe aucun moyen de prédire la distribution des nombres premiers’’. Paul Erdos, quant à lui, disait ‘‘Il faut attendre encore un million d’années avant de comprendre les NP’’.

A cause des nombres premiers (N.P), Hardy, le scientifique qui a réveillé l’Angleterre de son sommeil mathématique, a vu DIEU comme son plus grand ennemi. Avec le mystère de la répartition des N.P, l’indien Ramanujan, le plus brillant esprit scientifique du 19^ème siècle a failli se suicider en se jetant sous un train. Oui, les N.P ont toujours fasciné mais refusé de dévoiler leur secret.

Aujourd’hui, nombreux sont les mathématiciens professionnels qui travaillent sans relâche sur ces nombres énigmatiques et mystérieux. Depuis septembre 2012 j’ai juré que je serai celui qui réussira à établir un schéma qui organisera la répartition des N.P.

En 2014 j’ai fait une première publication (test le primalité). En fin février 2016, j’ai compris que pour réussir à répartir les NP qu’on peut aussi appelés, excepté 2, nombres impairs non composés, il faut nécessairement réussir à repartir les nombres impairs composés. Pour réussir aussi à repartir les nombres impairs composés, il faut comprendre la loi mathématique pour les nombres impairs composés terminés par 1, terminés par 3, terminés par 7 et terminés par 9.

En somme, on part de 1, 3, 7 et 9 pour organiser les nombres impairs composés et on part des nombres impairs composés pour organiser les N.P. Les nombres premiers ne sont donc pas gouvernés par la loi du hasard, ils sont une organisation dans une organisation. ‘‘Allah ne joue pas aux dés’’, disait Einstein. Tout ce qui a été créé, obéit à une loi, à un ordre. Il suffit juste d’observer pour comprendre.

Pour revenir à votre question, pourquoi j’ai publié mon article ? En effet, tout est parti du jour où j’ai lu un article sur deux californiens de l’université Oxford, qui ont fait des approches probabilistes sur les chiffres 1, 3, 7 et 9 pour trouver les N.P. Et comme ma méthode part des mêmes chiffres, je me suis dis que je m’en voudrais et me culpabiliserais durant toute ma vie si jamais un autre publiait avant moi. Ceux qui me connaissent et savent que j’ai l’algorithme ne me pardonneront jamais aussi. Les californiens ont juste vu 1, 3, 7 et 9 et le monde des mathématiques est en efférente. Qu’en serait-il lorsqu’ils soupçonneront qu’il faut passer de 1, 3, 7 et 9 aux nombres impairs composés et des nombres impairs composés pour les nombres premiers ?

Pour éviter alors les risques, j’ai décidé automatiquement de soumettre mon article aux revues scientifiques et mieux de le publier partout, car, il sera très difficile pour les avertis qui connaissent la problématique liée à la répartition des nombres premiers, de croire qu’un pays très loin de la recherche scientifique, dont les universités du continent ne se retrouvent nulle part dans le classement des universités, puisse réussir un tel exploit.

On dit d’ailleurs que l’algorithme simple qui réussira à repartir les N.P sera aussi révolutionnaire que la relativité d’Albert Einstein. Par ailleurs, nombreux sont les africains qui ont réussi de grandes découvertes mais qui n’ont jamais été reconnues et qui ont été mises à l’actif d’autres. Avec cette interconnexion planétaire, il faut être le dernier des avertis pour ne pas savoir que lorsqu’on a décidé de publier sa trouvaille, de la proposer aux revues, il faut la faire partager avec tout le monde à travers toutes les voies de communication possible.

Dans ces conditions, celui qui tentera quoi que ce soit, sera démasqué. Grigori Pelerman a fait la même chose en postant son article de 39 pages, sur la conjecture de Pointcarré sur le site arXiv. Il ne l’a jamais posté dans une revue. J’estime donc que mon article sur les sites, est une autre forme de garantie. Je connais l’histoire de Facebook entre Marc et les deux jumeaux qui se réclamaient être les premiers concepteurs de la technologie Facebook et que Marc a fait du plagiat. Je connais plusieurs autres exemples de plagiats scientifiques. Il sera donc difficile que je tombe dans les mêmes erreurs.

Pourquoi ne cherchez vous pas à breveter votre trouvaille ?

Ma trouvaille est une idée et non une technologie industrielle. Le brevetage, ce sont les industries et non les idées. La garantie d’une idée est dans sa publication.

Qu’est ce qui rassure avec votre formule ou algorithme?

Il fournit les nombres premiers par ordre au cas par cas avec les outils mathématiques simples accessibles à tous.

Les nombres premiers servent à quoi, sont-ils monnayables ?

Avec la cryptographie, la technologie RSA, ils servent à sécuriser de diverses données stratégiques en ligne : les informations, les cartes bancaires, la lutte contre la cybercriminalité, contre le terrorisme etc. Oui les grands NP, ça donne de l’argent.

Pourquoi ne pas les fournir avec votre algorithme pour changer votre vie?

Comment ? Avec mon micro-ordinateur Toshiba de 4GB de RAM (mémoire vive) ? Voulez-vous que je prenne le risque d’attendre et perdre un jour ma trouvaille ? J’ai choisi de publier donc je publierai partout.

D’autres alors fourniront de très grands nombres premiers avec votre algorithme et auront de l’argent avec votre science…

J’aurais rendu service et j’en serais fier. On ne peut pas vouloir du beurre et l’argent du beurre. Des fois, il faut savoir choisir pour ne pas être condamné par l’histoire.

N’avez-vous pas peur que d’autres mathématiciens détectent des erreurs dans votre article que vous nous permettez de mettre en ligne en bas de cet entretien ?

Ils diront peut être que telle ou telle phrase n’est pas bien écrite, mais ressortir que l’article a un raisonnement mathématique qui souffre de logique ou n’est pas une idée originale, j’attends de voir. Je mesure la portée: Oser affirmer qu’on a un algorithme simple avec les outils simples qui listent les nombres premiers par ordre croissant sans aucune erreur, c’est oser affronter tous les mathématiciens professionnels qui travaillent dans ce domaine. Je sais que beaucoup vérifieront encore et encore, mais je peux les rassurer qu’à part les fautes d’orthographes ou grammaticales, ils ne trouveront pas d’autres.

Vous parlez avec conviction M. Guillaume Hawing…

Je suis rassuré. En science exacte, il n’y a pas de modestie. Ou on connait ou on ne connait pas. Quand un théorème, une formule ou un algorithme est vrai, il le reste pour toujours. Les mathématiques sont l’un des rares domaines où on est sûr d’avoir touché la vérité.

Etes-vous conscient de votre valeur pour la science en Afrique ?

Non, plutôt conscient que je suis fait pour faire la science.

Avez-vous le soutien du département en charge de la recherche ?

Le Ministre Yero Baldé est plus déterminé que nous. Voici un Ministre qui prend son téléphone, qui nous appelle pour savoir où nous en sommes.

Vous êtes fiers de vous ?

Fier de mes deux parents décédés et de mes formateurs. Fier de prouver que la science n’est pas réservée à un groupe privilégié. Fier de savoir qu’on parlera de moi en 2016, en 3016, en 4016 et pour toujours. La science immortalise.

Voici l’algorithme mathématique de M. Hawing en français et en anglais qui liste par ordre les NP.

SCHEMA QUI ORGANISE LA REPARTITION DES NOMBRES PREMIERS

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Pr. Guillaume HAWING

Université Mahatma Gandhi

Conakry – République de Guinée.

Contact : +224 664 736293/ +224 733196

hawingguillaume@yahoo.fr ou havingguillaume@gmail.com

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Critiques des travaux existants

Le rêve d’une formule exacte et simple donnant le n^e nombre premier p_n, ou le nombre k(n) de nombres premiers inférieurs ou égaux à n, s’est très tôt heurté à l’extrême irrégularité de leur répartition, ce qui a amené à se contenter d’objectifs moins ambitieux. Mais même la recherche de formules ne donnant que des nombres premiers s’avère assez décevante ; ainsi, il est facile de montrer qu’il n’existe aucune fonction polynôme non constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premières pour tous les entiers n, ou même pour presque tous les n ; en fait, on ignore même s’il existe un polynôme de degré supérieur à 1 qui prenne une infinité de valeurs premières^[].

C’est ce qui explique l’intérêt de la remarque d’Euler: le polynôme quadratique P(n) = n² + n + 41 est premier pour tous les nombres entiers positifs strictement inférieurs à 40 (bien sûr, si n est un multiple de 41, P(n) sera lui aussi un multiple de 41, et donc non premier). D’ailleurs, 41 est le plus grand « nombre chanceux d’Euler », c’est-à-dire le plus grand entier A pour lequel le polynôme n² + n + A est premier pour tous les n strictement inférieurs à A – 1 ; cela résulte du théorème de Stark-Heegner un résultat de la théorie des corps de classes qui n’a été démontré qu’en 1967.

D’autres formules utilisant des fonctions plus générales, telle celle de Mersenne, avaient été envisagées, la plus célèbre étant celle conjecturée par Fermat : F_n = 2²ⁿ + 1 est premier pour tout n. Hélas, si ces nombres (appelés désormais nombres de Fermat) sont bien premiers pour 0 ≤ n ≤ 4, Euler découvrit que le sixième, F₅, est divisible par 641, ruinant la conjecture ; actuellement, on pense au contraire que F_n est toujours composé dès que n > 4.

Problématique

Depuis la nuit des temps, les nombres premiers ont fasciné et exacerbé la curiosité des érudits, chercheurs, savants et autres mathématiciens. C’est le charme fou, envoûtant des mystères et des énigmes irrésolus. La répartition des nombres premiers est un casse-tête ancestral, une problématique qui date de plus de 3.000 ans et qui a pris à l’échec des plus brillants esprits scientifiques de l’histoire des sciences. Elle est une problématique qui est même formulée dans une hypothèse, appelée hypothèse de l’allemand Bernard Riemann (fonction zêta de Riemann), faisant partie des 7 problématiques du millénaire mises à prix pour un million de dollar depuis mai 1900 par la fondation Clay Mathématique. De nos jours, plusieurs questions restent encore ouvertes au sujet de ces nombres, nous pouvons citer entre autres :

La conjecture des nombres premiers jumeaux,
La conjecture de Goldbach,
L’hypothèse de Riemann dont la résolution est mise à prix depuis mai 1900 par la fondation Clay Mathématique.

Objectif de mon travail

Trouver un schéma mathématique simple qui organise la répartition des nombres premiers sans aucune erreur.

Portée et conséquences scientifiques

Les criminels veulent casser une clé de cryptage RSA. Or la clé privée peut être recalculée à condition de pouvoir calculer la décomposition en nombres premiers d’un grand nombre. Pour espérer accélérer cette décomposition, on cherche à connaître le mieux possible les nombres premiers. Or, comme ce schéma permet de lister simplement les nombres premiers, donc entre les mains des cybers criminologues, il est un danger pour le piratage des comptes et pour le décodage des informations secrètes. Mais, entre les mains des entreprises et firmes de protection, ce schéma permettra de mieux sécuriser les comptes bancaires, de mieux sécuriser les informations sécrètes etc. Plus les nombres premiers que compose un code, sont grands, plus le code est fiable. Cet algorithme simple avec des outils simples, permettra de mieux sécuriser les comptes bancaires, les informations et les données sur internet.

Schéma qui organise la répartition des nombres premiers

Exceptés les entiers 2 et 5, tous les nombres premiers sont terminés par les entiers : 1, 3, 7 ou 9. Les nombres premiers sont de la forme : 10n+1 ou 10n+3 ou 10n+7 ou encore 10n+9.

Etudions le comportement des nombres premiers au cas par cas :

5.a Schéma qui repartit les nombres premiers de la forme U=10n +7 :

Remarques :

Tous les nombres impairs de la forme 10n+7, sont soient composés ou premiers.
Les nombres impairs composés de la forme 10n+7, ne peuvent avoir que deux formes : soit

10n+7= (10k₁+3) (10k₂+9) ou 10n+7= (10k₃+7) (10k₄+1) où k₁; k₂ ; k₃ et k₄ sont des entiers naturels.

A la question de savoir, comment sont répartis les nombres premiers ou nombres impairs non composés, c’est tout naturellement, qu’on peut se poser cette autre question : comment sont répartis les nombres impairs qui ne sont pas premiers? Et la réponse me semble évidente, les deux répartitions sont indissociables, car l’une ne va pas sans l’autre et en résoudre une équivaudrait à résoudre l’autre.

Dans cette optique, tentons d’avoir un schéma qui organise la répartition des nombres impairs composés de la forme : U₁= (10k₁+3) (10k₂+9) et U₂= (10k₃+7) (10k₄+1).

Considérons le tableau suivant contenant U₁ et U₂ :

Tableau A

10k₁+3	10k₂+9	10k₃+7	10k₄+1
3	9	7	11
13	19	17	21
23	29	27	31
33	39	37	41
43	49	47	51
53	59	57	61
63	69	67	71
73	79	77	81
83	89	87	91
93	99	97	101



Infini	infini	infini	infini

Ce tableau qui comprend deux parties : Une partie en jaune et une partie en vert, respectivement des produits de (10k₁+3) (10k₂+9) et de (10k₃+7) (10k₄+1), est le schéma qui organise tous les nombres impairs composés terminés par 7, c’est-à-dire de la forme 10n+7.

Comment avoir une liste ordonnée des nombres impairs composés et nombres impairs non composés (premiers) inferieurs à un entier n, de la forme 10n+7 ?

Pour lister par ordre, les nombres impairs composés et nombres premiers plus petits que n, on procède comme suit : On prend chaque élément de 10k₁+3 (3 ; 13 ; 23 ; 33 ; 43 ;…..), on le multiplie par les différents éléments de 10k₂+9 (9 ; 19 ; 29 ; 39 ; 49 ; 59….). Aucun produit ne doit excéder n. Les différents résultats des multiplications, doivent tous être inferieurs ou égaux à n. On effectue le même exercice pour les entiers de la colonne 10k₃+7 et 10k₄+1. Pour cette colonne aussi, aucun produit de la multiplication de chaque élément de 10k₃+7 (7 ; 17 ; 27 ; 37 ; 47 ; ……) par les éléments de 10k₄+1 (11 ; 21 ; 31 ; 41….) ne doit excéder n. Après ces différents produits, on trie et classe par ordre croissant, les nombres impairs composés obtenus, allant de 3*9 à n. Les nombres premiers seront alors les nombres impairs terminés par 7 absents dans la liste du classement. Autrement dit, si la différence entre les nombres impairs composés successifs terminés par 7 classés de 3*9 à n, est 10 il n’y a pas de nombre premiers entre ces deux nombres. Si la différence entre deux nombres impairs composés successifs terminés par 7 est 20, il y aura un nombre premier entre ces deux nombres. Si cette différence est 30, il y aura deux nombres premiers entre ces deux nombres.

Exemple : Enumérons les nombres impairs composés et les nombres premiers de la forme 10n+7 inférieurs à n= 3*109= 327.

Pour la colonne U₁, on a : 3*9 ; 3*19 ; 3*29 ; 3*39 ; 3*49 ; 3*59 ; 3*69 ; 3*79 ; 3*89 ; 3*99 ; 3*109 ; 13*19

Pour la colonne U₂, on a : 7*11 ; 7*21 ; 7*31 ; 7*41 ;

En ordonnant ces nombres impairs composés de la colonne U₁ et U₂ , on aura : 27 ; 57 ; 77 ; 87 ; 117 ; 147 ; 177 ; 207 ; 217 ; 237 ; 247 ; 287 ; 297

Nous voici avec 12 nombres impairs composés successifs de la forme 10n+7. En continuant avec le même procédé, nous pouvons établir une infinité de nombres impairs composés successifs de la forme 10n+7.

Comment déduire les nombres premiers de cette liste de nombres impairs composés successifs de la forme 10n+7 inferieurs à 327 ?

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Théorème : Soient N₁ et N₂, deux nombres impairs composés successifs de la forme 10n+7.

Si N₂-N₁= 10, il n’y a pas de nombres premiers de la forme 10k+7 entre N₁ et N₂
Si N₂-N₁= 20, il y un nombre premier de la forme 10k+7 entre N₁ et N₂
Si N₂–N₁= 30, il y a deux nombres premiers de la forme 10k+7 entre N₁ et N₂.

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Dans la liste des nombres impairs composés : 27 ; 57 ; 77 ; 87 ; 117 ; 147 ; 177 ; 207 ; 217 ; 237 ; 247 ; 287 ; 297

57-27=30, il y a deux nombres premiers entre 27 et 57, qui sont : 37, 47.
77-57=20, il y a un nombre premier entre 57 et 77, qui est 67
87-77=10, il n’y pas de nombres premiers entre 77 et 87.

En suivant le même procédé pour les autres entiers composés, nous aurons les nombres premiers suivants : 97 ; 127 ; 137 ; 157 ; 167 ; 187 ; 197 ; 227 ; 257 ; 267. En tenant compte de 7 et 17 qui sont absents sur la liste, les nombres premiers terminés par 7 inferieurs à 327 sont : 7 ; 17 ; 37 ; 47 ; 67 ; 97 ; 127 ; 137 ; 157 ; 167 ; 187 ; 197 ; 227 ; 257 ; 267 ; 277.

Du schéma des nombres impairs composés de la forme 10n+7, nous tirons la conclusion suivante :

Les nombres impairs non composés ou nombres premiers de la forme 10n+7 n’apparaissent pas de façon aléatoire. Ils sont entre deux nombres impairs composés successifs de la forme 10n+7 de différence 20 ou 30. Quand nous avons la liste des nombres impairs composés de la forme 10n+7, qui peut nous être générée par le tableau A, connaissant un nombre premier P₁de la forme 10n+7, nous pourrons prédire avec exactitude le nombre premier P₂suivant de la forme 10n+7.

N.B : Les nombres 7 et 17 sont absents de la liste des nombres premiers, parce qu’ils sont plus petits que les premier nombre impairs composés de la forme 10n+7.

Conclusion : Les nombres impairs non composés ou nombres premiers de la forme 10n+7, sont organisés dans l’organisation des nombres impairs composés de la forme 10n+7.

5.b Schéma qui repartit les nombres premiers de la forme 10n+3 :

Remarques :

Tous les nombres impairs de la forme 10n+3, sont soient composés ou premiers.
Les nombres impairs composés de la forme 10n+3, ne peuvent avoir que deux formes : soit 10n+3= (10k₁+3) (10k₂+1) ou 10n+3= (10k₃+7) (10k₄+9) où k₁; k₂; k₃et k₄ sont des entiers naturels.

Soit U₁= (10k₁+3) (10k₂+1) et U₂= (10k₃+7) (10k₄+9).

Considérons le tableau suivant :

Tableau B

10k₁+3	10k₂+1	10k₃+7	10k₄+9
3	11	7	9
13	21	17	19
23	31	27	29
33	41	37	39
43	51	47	49
53	61	57	59
63	71	67	69
73	81	77	79
83	91	87	89
93	101	97	109



infini	infini	infini	infini

Ce tableau, à l’instar du premier tableau, est le schéma qui organise la répartition des nombres impairs composés terminés par 3, c’est-à-dire de la forme 10n+3.

Enumérons par exemple, les 7 premiers nombres impairs composés de la forme 10n+3, on aura : 3*11 ; 3*21 ; 3*31 ; 3*41 ; 7*19 ; 13*11 ; 3*51 donc (33 ; 63 ; 93 ; 123 ; 133 ; 143 ; 153)

Après les 7 premiers, énumérons les 5 nombres impairs composés suivants, on a : 3*61 ; 7*29 ; 3*71 ; 3*81 ; 7*39, donc (183 ; 203 ; 213 ; 243 ; 273).

En mettant ensemble, ces nombres impairs composés, on aura : 33 ; 63 ; 93 ; 123 ; 133 ; 143 ; 153 ; 183 ; 213 ; 243 ; 273.

A l’instar du premier cas, nous passons par le même procédé de nombres impairs composés successifs pour déduire les entiers impairs non composés ou nombres premiers de la forme 10n+3. Ainsi, les nombres premiers pour cette liste d’entiers composés sont : 43 ; 53 ; 73 ; 83 ; 103 ; 113 ; 163 ; 173 ; 193 ; 203 ; 253 ; 263.

N.B : 3 ; 13 et 23 sont inferieurs au plus petit nombre impair composé terminé par 3 qui est 33.

En ajoutant 3 ; 13 et 23 on a : 3 ; 13 ; 23 ; 43 ; 53 ; 73 ; 83 ; 103 ; 113 ; 163 ; 173 ; 193 ; 203 ; 253 ; 263.

Conclusion : Les nombres impairs non composés ou nombres premiers de la forme 10n+3, sont organisés dans l’organisation des nombres impairs composés de la forme 10n+3

5.c Schéma qui repartit les nombres premiers de la forme 10n+1 :

Remarque :

Tous les nombres impairs de la forme 10n+1, sont soient composés ou premiers.
Les nombres impairs composés de la forme 10n+1, ne peuvent avoir que trois formes : soit

10n+1= (10k₁+3) (10k₂+7) ou 10n+1= (10k₃+9) (10k₄+9) et ou 10n+1= (10k₅+1) (10k₆+1) où k₁, k₂; k₂ ; k₃ et k₄ k₅; k₆ sont des entiers naturels.

Soit U₁= (10k₁+3) (10k₂+7) ; U₂= (10k₃+9) (10k₄+9) et U₃= (10k₅+1) (10k₆+1).

Considérons le tableau suivant :

Tableau C

10k₁+3	10k₂+7	10k₃+9	10k₄+9	10k₅+1	10k₆+1
3	7	9	9	11	11
13	17	19	19	21	21
23	27	29	29	31	31
33	37	39	39	41	41
43	47	49	49	51	51
53	57	59	59	61	61
63	67	69	69	71	71
73	77	79	79	81	81
83	87	89	89	91	91
93	97	99	99	101	101



infini	infini	infini	infini	infini	infini

Ce tableau qui comprend trois parties : Une partie en rouge, une en jaune et une dernière en vert, est le schéma qui organise tous les nombres impairs composés terminés par 1, c’est-à-dire de la forme 10n+1.

Enumérons par exemple, les 7 premiers nombres impairs composés de ce tableau, on a : 3*7 ; 3*17 ; 9*9 ; 3*37 ; 7*13 ; 11*11 ; 3*47 ; 3*57 d’où : (21 ; 51 ; 81 ; 91 ; 111 ; 121 ; 141 ; 171).

Les nombres premiers terminés par 1, de cette liste sont : 11 ; 31 ; 41 ; 61 ; 71 ; 101 ; 151 ; 161.

Conclusion : Les nombres impairs non composés ou nombres premiers de la forme 10n+1, sont organisés dans l’organisation des nombres impairs composés de la forme 10n+1

5.d Schéma qui repartit les nombres premiers de la forme 10n+9 :

Remarque :

Tous les nombres impairs de la forme 10n+9, sont soient composés ou premiers.
Les nombres impairs composés de la forme 10n+9, ne peuvent avoir que trois formes : soit

10n+9= (10k₁+3) (10k₂+3) ou 10n+9= (10k₃+7) (10k₄+7) et ou 10n+9= (10k₅+9) (10k₆+1) où k₁, k₂; k₂ ; k₃ et k₄ k₅; k₆ sont des entiers naturels.
Soit U₁= (10k₁+3) (10k₂+3) ; U₂= (10k₃+7) (10k₄+7) et U₃= (10k₅+9) (10k₆+1).

Considérons le tableau suivant :

Tableau D

10k₁+3	10k₂+3	10k₃+7	10k₄+7	10k₅+9	10k₆+1
3	3	7	7	9	11
13	13	17	17	19	21
23	23	27	27	29	31
33	33	37	37	39	41
43	43	47	47	49	51
53	53	57	57	59	61
63	63	67	67	69	71
73	73	77	77	79	81
83	83	87	87	89	91
93	93	97	97	109	101



infini	infini	infini	infini	infini	infini

Ce tableau qui comprend trois parties : Une partie en rouge, une en jaune et une dernière en vert, est le schéma qui organise tous les nombres impairs composés terminés par 9, c’est-à-dire de la forme 10n+9.

Enumérons par exemple, les 10 premiers nombres impairs composés de ce tableau, on a : 3*3 ; 3*13 ; 7*7 ; 3*23 ; 9*11 ; 7*17 ; 3*43 ; 3*53 ; 13*13 ; 9*21 d’où (9 ; 39 ; 49 ; 69 ; 99 ; 119 ; 129 ; 159 ; 169 ; 189

Les nombres premiers de cette liste sont : 19 ; 29 ; 59 ; 79 ; 89 ; 109 ; 139 ; 149 ; 179.

Conclusion : Les nombres impairs non composés ou nombres premiers de la forme 10n+9, sont organisés dans l’organisation des nombres impairs composés de la forme 10n+9

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Théorème : Le nombre de nombres premiers d’une liste d’entiers naturels impairs consécutifs de la forme 10n+1, 10n+3, 10n+7 ou 10n+9 est la somme du double du nombre de nombres impairs composés successifs de différence 30 et du nombre de nombres impairs composés successifs de différence 20.

Soit NP : nombre des nombre premiers

NC1 : nombre de nombres impairs composés successifs de différence 30

NC2 : nombre de nombres impairs composés successifs de différence 20

NP= 2NC1+ NC2

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Exemple : Quel est le nombre de nombres premiers des nombres impairs composés successifs suivants : 9 ; 39 ; 49 ; 69 ; 99 ; 119 ; 129 ; 159 ; 169 ; 189 ?

Déterminons NC1 et NC2

NC1= (9 ; 39) ; (69 ; 99) ; (129 ; 159)

NC2= (49 ; 69) ; (99 ; 119) ; (169 ; 189)

D’où NP= 2*3+3=9

Conclusion : Pouvons nous dissocier les nombres impairs non composés aux nombres impairs composés ? La réponse est certainement non, car les uns donnent toujours naissance aux autres. A la question de savoir comment se repartissent les nombres impairs non composés ou premiers, revient à celle de savoir comment se repartissent les nombres impairs composés ?

N.B : Avec ces tableaux, nous pouvons facilement répondre aux questions : Quel est le n^e nombre premier p_n, ou quel est le nombre k(n) de nombres premiers inférieurs ou égaux à n ?

APPLICATIONS

APPLICATION 1 : Quels sont les nombres premiers inferieurs à 1347 ?

Cas du tableau A

Premiers terminés par 7. Ici, je divise 1347 par 3. On aura : 449*3. On cherche tous les nombres impairs composés du tableau A, inferieurs à 3*449. On déduit ensuite les nombres premiers.

Ainsi, en utilisant le tableau A, les nombres premiers terminés par 7 inferieurs à 1347 sont : 37 ; 47 ; 67 ; 97 ; 107 ; 127 ; 137 ; 157 ; 167 ; 197 ; 227 ; 257 ; 277 ; 307 ; 317 ; 337 ; 347 ; 367 ; 397 ; 457 ; 467 ; 487 547

557 577 587 607 617 647 677 727 757 787 797 827 857 877 887 907 937 947 967 977 997 1087 1097 1117 1187 ; 1217 ; 1237 ; 1277 ; 1297 ; 1307 ; 1327

Cas du tableau B

En utilisant le tableau B, les nombres premiers terminés par 3, inferieurs à 1347 sont : 43 ; 53 ; 73 ; 83 ;103 ; 113 ; 163 ; 173 ; 193 ; 223 ; 233 ; 263 ; 283 ; 293 ; 313 ; 353 ; 373 ; 383 ; 433 ; 443 ; 463 ; 503 ; 523 ; 563 ; 593 ; 613 ; 643 ; 653 ; 673 ; 683 ; 733 ; 743 ; 773 ; 823 ; 853 ; 863 ; 883 ; 953 ; 983 ; 1013 ; 1033 ; 1063 ; 1093 ; 1103 ; 1123 ; 1153 ; 1163 ; 1193 ; 1213 ; 1223 ; 1283 ; 1303

Cas du tableau C

En utilisant le tableau C, les nombres premiers terminés par 1, inferieurs à 1347 sont : 31 ; 41 ; 61 ; 71 ; 101 ; 131 ; 151 ; 181 ; 191 ; 211 ; 241 ; 251 ; 271 ; 281 ; 311 ; 331 ; 401 ; 421 431 ; 461 ; 491 ; 521 ; 541 ; 571 ; 601 ; 631 ; 641 ; 661 ; 691 ; 701 ; 751 ; 761 ; 811 ; 821 ; 881 ; 911 ; 941 ; 971 ; 991 ; 1021 ; 1031 ; 1051 ; 1061 ; 1091 ; 1151 ; 1171 ; 1181 ; 1201 ; 1231 ; 1291 ;1301 ; 1321

Cas du tableau D

En utilisant le tableau D, les nombres premiers terminés par 9, inferieurs à 1347 sont : 19 ; 29 ; 59 ; 79 ; 89 ; 109 ; 139 ; 149 ; 179 ; 199 ; 229 ; 239 ; 269 ; 349 ; 359 ; 379 ; 389 ; 409 ; 419 ; 439 ; 449 ; 479 ; 499 ; 509 ; 569 ; 599 ; 619 ; 659 ; 709 ; 719 ; 739 ; 769 ; 809 ; 829 ; 839 ; 859 ; 919 ; 929 ; 1009 ; 1019 ; 1039 ; 1049 ; 1069 ; 1109 ; 1129 ; 1229 ; 1249 ; 1259 ; 1279 ; 1289 ; 1319

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Ainsi donc, les nombres premiers inferieurs à 1347, est l’ensemble de tous ces nombres premiers terminés par 7, terminés par 3, terminés par 1 et terminés par 9, ajoutés des nombres premiers 2 ; 3, 7, 11, 13, 17, 23

N.B : Les nombres : 11 ; 3 ; 13 ; 23 ; 7 et 17 sont absents de la liste de ces nombres premiers, parce qu’ils sont inferieurs au plus petit des nombres impairs composés pour chaque cas. En effet, 21 ; 33 ; 27 et 9 sont les plus petits nombres impairs composés pour chaque cas.

APPLICATION 2 : Avec le tableau A, l’algorithme implémenté en langage machine, voici 6519 nombres premiers terminés par 7 listés par ordre, générés en moins d’une seconde par un micro-ordinateur Toshiba Satellite avec un processeur dual core 2.20 GHz et 4 GB ram (Mémoire vive).

7 ; 17 ; 37 47 67 97 107 127 137 157 167 197 227 257 277 307 317 337 347 367 397 457 467 487 547 557 577 587 607 617 647 677 727 757 787 797 827 857 877 887 907 937 947 967 977 997 1087 1097 1117 1187 1217 1237 1277 1297 1307 1327 1367 1427 1447 1487 1567 1597 1607 1627 1637 1657 1667 1697 1747 1777 1787 1847 1867 1877 1907 1987 1997 2017 2027 2087 2137 2207 2237 2267 2287 2297 2347 2357 2377 2417 2437 2447 2467 2477 2557 2617 2647 2657 2677 2687 2707 2767 2777 2797 2837 2857 2887 2897 2917 2927 2957 3037 3067 3137 3167 3187 3217 3257 3307 3347 3407 3457 3467 3517 3527 3547 3557 3607 3617 3637 3677 3697 3727 3767 3797 3847 3877 3907 3917 3947 3967 4007 4027 4057 4127 4157 4177 4217 4297 4327 4337 4357 4397 4447 4457 4507 4517 4547 4567 4597 4637 4657 4787 4817 4877 4937 4957 4967 4987 5077 5087 5107 5147 5167 5197 5227 5237 5297 5347 5387 5407 5417 5437 5477 5507 5527 5557 5647 5657 5717 5737 5807 5827 5857 5867 5897 5927 5987 6007 6037 6047 6067 6197 6217 6247 6257 6277 6287 6317 6337 6367 6397 6427 6547 6577 6607 6637 6737 6827 6857 6907 6917 6947 6967 6977 6997 7027 7057 7127 7177 7187 7207 7237 7247 7297 7307 7417 7457 7477 7487 7507 7517 7537 7547 7577 7607 7687 7717 7727 7757 7817 7867 7877 7907 7927 7937 8017 8087 8117 8147 8167 8237 8287 8297 8317 8377 8387 8447 8467 8527 8537 8597 8627 8647 8677 8707 8737 8747 8807 8837 8867 8887 9007 9067 9127 9137 9157 9187 9227 9257 9277 9337 9377 9397 9437 9467 9497 9547 9587 9677 9697 9767 9787 9817 9857 9887 9907 9967 10007 10037 10067 10177 10247 10267 10337 10357 10427 10457 10477 10487 10567 10597 10607 10627 10657 10667 10687 10837 10847 10867 10937 10957 10987 11027 11047 11057 11087 11117 11177 11197 11257 11287 11317 11437 11447 11467 11497 11527 11587 11597 11617 11657 11677 11717 11777 11807 11827 11867 11887 11897 11927 11987 12007 12037 12097 12107 12157 12197 12227 12277 12347 12377 12437 12457 12487 12497 12517 12527 12547 12577 12637 12647 12697 12757 12907 12917 12967 13007 13037 13127 13147 13177 13187 13217 13267 13297 13327 13337 13367 13397 13417 13457 13477 13487 13537 13567 13577 13597 13627 13687 13697 13757 13807 13877 13907 13967 13997 14057 14087 14107 14177 14197 14207 14327 14347 14387 14407 14437 14447 14537 14557 14627 14657 14717 14737 14747 14767 14797 14827 14867 14887 14897 14947 14957 15017 15077 15107 15137 15187 15217 15227 15277 15287 15307 15377 15427 15467 15497 15527 15607 15647 15667 15727 15737 15767 15787 15797 15817 15877 15887 15907 15937 16007 16057 16067 16087 16097 16127 16187 16217 16267 16417 16427 16447 16477 16487 16547 16567 16607 16657 16747 16787 16927 16937 16987 17027 17047 17077 17107 17117 17137 17167 17207 17257 17317 17327 17377 17387 17417 17467 17477 17497 17597 17627 17657 17707 17737 17747 17807 17827 17837 17957 17977 17987 18047 18077 18097 18127 18217 18257 18287 18307 18367 18397 18427 18457 18517 18587 18617 18637 18757 18787 18797 18917 18947 19037 19087 19157 19207 19237 19267 19387 19417 19427 19447 19457 19477 19507 19577 19597 19687 19697 19717 19727 19777 19867 19927 19937 19997 20047 20107 20117 20147 20177 20287 20297 20327 20347 20357 20407 20477 20507 20627 20707 20717 20747 20807 20857 20887 20897 20947 21017 21067 21107 21157 21187 21227 21247 21277 21317 21347 21377 21397 21407 21467 21487 21517 21557 21577 21587 21617 21647 21727 21737 21757 21767 21787 21817 21937 21977 21997 22027 22037 22067 22147 22157 22247 22277 22307 22367 22397 22447 22567 22637 22697 22717 22727 22777 22787 22807 22817 22877 22907 22937 23017 23027 23057 23087 23117 23167 23197 23227 23297 23327 23357 23417 23447 23497 23537 23557 23567 23627 23677 23687 23747 23767 23827 23857 23887 23917 23957 23977 24007 24077 24097 24107 24137 24197 24247 24317 24337 24407 24517 24527 24547 24677 24697 24767 24847 24877 24907 24917 24967 24977 25037 25057 25087 25097 25117 25127 25147 25237 25247 25307 25357 25367 25447 25457 25537 25577 25657 25667 25717 25747 25847 25867 25997 26017 26107 26177 26227 26237 26267 26297 26317 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293087 293107 293147 293177 293207 293257 293357 293467 293507 293617 293677 293717 293767 293827 293957 294067 294127 294157 294167 294227 294247 294277 294317 294337 294347 294397 294467 294647 294757 294787 294887 294947 294997 295007 295037 295187 295237 295247 295277 295357 295387 295417 295517 295567 295727 295777 295787 295837 295847 295877 295937 296017 296027 296047 296117 296137 296237 296287 296347 296377 296437 296477 296507 296557 296587 296627 296687 296767 296797 296827 296987 297067 297097 297247 297257 297317 297377 297397 297457 297467 297487 297607 297617 297707 297727 297757 297797 297907 297967 298087 298157 298187 298237 298247 298307 298327 298427 298477 298607 298667 298687 298757 298777 298817 298847 298897 298937 299017 299027 299087 299107 299137 299147 299197 299287 299317 299357 299417 299447 299477 299527 299567 299617 299777 299807 299857.

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Si avec ces 4 tableaux (4 algorithmes), on peut repartir aisément les nombres impairs composés, c’est qu’on pourra aussi en déduire aisément la répartition de nombres impairs non composés appelés nombres premiers.

La répartition des nombres premiers est loin d’appartenir au hasard, comme disait Gausse « Il n’y a aucun moyen de prédire l’odre d’apparition des nombres premiers. ». Avec ces 4 tableaux ou algorithmes, je viens de prouver que les nombres premiers n’apparaissent pas au hasard, il y a bien un schéma qui organise leur distribution. Les nombres premiers sont organisés dans l’organisation des nombres impairs composés.

Bibliographie

1) Peter L. Montgomery. Evaluatinf of form X_m+n= f(X_m , X_n , X_m+n)

2) Famous Problems of mathematics Cray lock. New york, p.1-20 et p.121-155

3) SCHOLL P.C.1989 : Algorithmique et représentation des données. Edition MASSON

4) S.DIALLO : Utilisation des carrés parfaits dans le recherche d’un diviseur d’un entier naturel. Revue 4) scientifique de l’université de kankan (RESUK) N^o 006 juin 08 P.52-57

5) G. Hawing : Algorithme de test de primalité, Revue de science Gamal Abdel Nasser 2014

Remerciement

Je remercie DIEU, l’Omniscient, de m’avoir confié la science de la répartition des nombres premiers. Je remercie mes feus parents Paul et Anne Marie Curtis de m’avoir donné vie et d’avoir veillé sur mon éducation idéologique et scientifique. Je remercie mon frère Jacob Hawing et mes trois sœurs Elisabeth, Marie Hélène et Isabelle pour leur soutien moral. Je remercie ma chère épouse Stéphanie Zohra Bohui, pour avoir accepté laisser le cahier et le stylo prendre sa place durant ces sept dernières années. Oui, il est bien difficile d’être l’épouse d’un scientifique, car il est plus passionné par la recherche que par l’attention pour la femme. Je remercie le fondateur de l’Université Mahatma Gandhi, Mamadou Mouctar Savané, pour m’avoir écouté, cru et soutenu, pour avoir parié que je pouvais réussir le mystère de la répartition des nombres premiers. Je bénis le jour où j’ai croisé le chemin de ce monsieur. Je remercie le Ministère et le ministre de l’Enseignement Supérieur et de Recherche Scientifique Guinéen, M.Yéro Baldé pour son soutien et encouragement, je remercie le ministre Albert Damantang Camara, pour tout son soutien que je ne saurais oublier, je remercie la Société Mathématique Guinéenne, la Société Mathématique Marocaine, principalement Mostafa Belkasmi, la Société Mathématique Tunisienne, je remercie la Société Mathématique Africaine au Sénégal (AIMS-Senegal), et Fabien Pazuki de l’université Bordeaux1 France. Je remercie le Russe, Pr. Sebeldin Anatoly, Pr Alpha Lamine Sylla et dieu des Maths. Mes remerciements vont également à l’endroit du personnel enseignant de l’université Mahatma Gandhi, à l’endroit de M. Soumaré Fodé Idrissa, le programmeur qui s’est mis à notre disposition nuit et jour sans relâche pour traduire cet algorithme en langage machine. Je remercie mes amis de la 40^ème Électrotechnique et mes étudiants. Je remercie les sites d’information et radios guinéens (RTG, guinee7.com ; actuconakry, gbassikolo, visionguinee, forumtousguinéens, aminata.com, factuguinée, evasionguinee, espacefm, espace TV, guinéenews, mediaguinée, gagan TV, Guinée Times etc…) et sites panafricains qui ont toujours accepté de vendre mon image et de publier mes articles contre aucun franc, à temps et à contre temps. Je dis merci à tous mes amis des réseaux sociaux qui m’ont soutenu avec leur message et appel. Je dis aussi merci à mes contradicteurs, car grâce à leur pertinence, j’ai pu m’armer d’avantage. Enfin, la main sur la poitrine, je dis merci à mes formateurs. Sans eux, je suis persuadé que je n’allais pas réussir ce que j’ai réussi aujourd’hui. On dit chez nous « La force d’un baobab se trouve dans ses racines »

SCHEMA ORGANIZING THE DISTRIBUTION OF FIRST NUMBERS

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Pr. Guillaume HAWING

University Mahatma Gandhi

Conakry – République de Guinée.

Contact : +224 664 736293/ +224 733196

hawingguillaume@yahoo.fr ou havingguillaume@gmail.com

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Reviews of existing work

The dream of accurate and simple formula for the n prime number p(n) , or the number k (n) of prime numbers less than or equal to n, took an early hit in the extrem irregularity of their distribution, which have to settle for less ambitious goals. But even looking for formulas giving only prime numbers are fairly disap pointing; thus, it is easy to show that there is no non-constant polynomial function P(n) which would take only the first values for all integers n, or even for almost all n; in fact, even it is not known if there is a polynomial of degree greater than 1 that takes an minfinity of prime values.

This is what explains the interest of Euler remark: the quadratic polynomial P(n) = n² + n + 41 is prime for all positive integers strictly less than 40 (of course, if n is a multiple 41, P(n) will also be a multiple of 41, and therefore non-prime). Besides, 41 is the largest « Euler lucky number », that is to say the largest integer A for which the polynomial n² + n + A is prime for all n strictly less than A – 1 ; this follows from the Stark-Heegner theorem a result of class field theory which was demonstrated in 1967.

Other formulas using more general functions, such as that of Mersenne, had been considered, the most famous being the one conjectured by Fermat: F_n = 2²ⁿ + 1 is prime for all n. Alas, if those numbers (now called Fermat numbers) are first for 0 ≤ n ≤ 4, Euler discovered that the sixth, F₅, is dividable by 641, ruining conjecture; Currently, it is believed instead that Fn is always made when n> 4.

Problematic

Since the dawn of time, prime numbers have fascinated and exacerbated the curiosity of scholars, researchers, scientists and other mathematicians. This is the charm, captivating mysteries and unsolved riddles. The distribution of prime numbers is an ancient puzzle, a problem that is more than 3,000 years and took to the failure of the brightest scientific minds in the history of science. It is a problem that is even formulated a hypothesis, called the hypothesis of the German Bernhard Riemann (Riemann zeta function), part of the 7 issues of price updates millennium for a million dollar since May 1900 by the Clay Mathematics Foundation . Today,

The conjecture of twin primes
Goldbach conjecture
Riemann hypothesis

Objective of my work

Find a simple mathematical pattern that organizes the distribution of prime numbers without any error

Scientific importance and consequences of my research

Criminals can break a key RSA encryption. But the private key can be recalculated provided to calculate the decomposition into prime numbers of many. To hope to accelerate this decomposition, we seek to know the best prime numbers. However, as this patterns allows to simply list the primes, so the hands of cyber criminology, there is a danger for hacking accounts and decoding secret information. But in the hands of businesses and protection of firms, this patterns will help secure bank accounts, more secure secret information etc. More prime numbers that dials a code, the greater the code is reliable. This simple algorithm with simple tools will better secure bank accounts, information and internet data.

Diagram which organizes the distribution of prime numbers

Except the integers 2 and 5, all primes are complete by the integers: 1, 3, 7 or 9. Prime numbers are of the form 10n + 1 and 10n + 3 or 10n + 10n + 7 or 9.
Let study the behavior of primes in each case:

Except the integers 2 and 5, all prime numbers are completed by the integers 1, 3, 7 or 9. Prime numbers are of the form 10n + 1 or 10n + 3 or 10n + 7 or 10n + 9.

Let’s study the behavior of prime numbers in each case.

5.a Diagram rejoined the primes numbers of the form U = 10n+ 7:

Remarks:

All the odd numbers of the form 10n + 7 are either first or compounds.
Odd numbers compounds as 10n + 7 can only have two forms: either 10n + 7 = (10k₁ + 3) (10k₂ + 9) or 10n + 7 = (10k₃ + 7) (10k₄ + 1) where k₁; k₂; k₃ and k₄ are integers.

To the question, how are distributed prime numbers or odd numbers not compounds, naturally, we can ask another question: how are distributed the odd numbers that are not first? And the answer seems obvious, the two distributions are inseparable, because one does not go without the other and solve an equivalent to solve the other.
In this light, trying to have a pattern that organizes the distribution of compounds odd numbers of the form: U₁ = (10k₁ + 3) (10k₂ + 9) and U₂ = (10k₃ + 7) (10k₄ + 1).

Consider the following table containing U₁ and U₂

Table A

10k₁+3	10k₂+9	10k₃+7	10k₄+1
3	9	7	11
13	19	17	21
23	29	27	31
33	39	37	41
43	49	47	51
53	59	57	61
63	69	67	71
73	79	77	81
83	89	87	91
93	99	97	101



Infinite	infinite	infinite	Infinite

This table includes two parts: One part yellow and part green, products respectively (10k₁+3) (10k₂+9) and of (10k₃+7) (10k₄+1), is the schema that organizes all odd numbers ending in 7 compounds, that is to say of the form 10n+7.

That is the schema Organizes all odd numbers ending in 7 compounds, That Is to say of the form 10n+7?

To list order, odd numbers compounds and prime numbers smaller than n, the procedure is as follows: We take each element of a 10k₁+3 (3 ; 13 ; 23 ; 33 ; 43 ;…..), is multiplied by the various elements 10k₂ + 9 (9; 19; 29; 39; 49; 59 ….). No products must not exceed n. The different results of the multiplications, all must be less than or equal to n. We perform the same exercise for the whole column 10k₃+7 et 10k₄+1. For this column also, no product of multiplying each 10k₃ + 7 element (7; 17; 27; 37; 47; ……) by 10k₄ + 1 elements (11; 21; 31;. 41 …) do must exceed n. After these different products, and is sorted in ascending order, the odd numbers obtained compounds, ranging from 9 to 3 * n. The prime numbers are then odd numbers ending in 7 missing in the list of rankings. In other words, if the difference between successive odd numbers terminated compounds classified 7, 3* 9 at n is 10 there is no prime number between these two numbers. If the difference between two successive odd composite numbers ending in 7 is 20, there will be a prime number between these two numbers. If this difference is 30, there will be two prime numbers between these two numbers.

How to have an ordered list of odd numbers and even numbers compounds non compounds (first) lower than an integer n, as 10n + 7?

Exemple : Let us count the odd composite numbers and prime numbers of the form 10n+7 less than n= 3*109= 327.

U₁ for the column was : 3*9 ; 3*19 ; 3*29 ; 3*39 ; 3*49 ; 3*59 ; 3*69 ; 3*79 ; 3*89 ; 3*99 ; 3*109 ; 13*19

U₂ for the column was : 7*11 ; 7*21 ; 7*31 ; 7*41 ;

In ordering odd numbers composed of column U₁ and U₂ , we have : 27 ; 57 ; 77 ; 87 ; 117 ; 147 ; 177 ; 207 ; 217 ; 237 ; 247 ; 287 ; 297

Here we are with 13 successive odd numbers of compounds form 10n+7. Continuing with the same method, we can establish an infinite number of odd numbers of the successive compounds form 10n+7.

How to deduce the primes of this list of successive odd numbers of form compounds 10n+7 less than 327 ?

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Théorème : Let N₁ et N₂, two successive odd numbers of compounds form 10n+7.

If N₂-N₁= 10, there is no primes of the form 10k + 7 between N₁ and N₂
If N₂-N₁= 20, there is no primes of the form 10k + 7 between N₁ and N₂
If N₂–N₁= 30, there are two primes of the form 10k + 7 between N₁ et N₂.

*******************************************************************************************************************************

In the list of odd numbers compounds: 27 ; 57 ; 77 ; 87 ; 117 ; 147 ; 177 ; 207 ; 217 ; 237 ; 247 ; 287 ; 297

57-27=30, there are two relatively prime numbers 27 and 57 which are : 37, 47.
77-57=20, there is one prime number between 57 et 77, which is 67
87-77=10, there are no prime numbers between 77 et 87.

Following the same process for other compounds whole, we have the following prime numbers: 97 ; 127 ; 137 ; 157 ; 167 ; 187 ; 197 ; 227 ; 257 ; 267. Considering the fact 7 and 17 which are absent from the list, the prime numbers ending in 7 are below 327 : 7 ; 17 ; 37 ; 47 ; 67 ; 97 ; 127 ; 137 ; 157 ; 167 ; 187 ; 197 ; 227 ; 257 ; 267 ; 277.

Schema odd numbers compounds as 10n + 7, we draw the following conclusion:

Odd numbers or not compounds primes of the form 10n + 7 do not appear randomly. They are between two successive odd numbers compounds as 10n + 7 difference 20 or 30. When we have the list of odd numbers compounds as 10n + 7, which we may be generated by Table A, knowing a prime number P₁ as 10n + 7, we can accurately predict the next prime number P₂ of the form 10n + 7.

N.B :. The numbers 7 and 17 are missing from the list of prime numbers, because they are smaller than the first number odd compounds as 10n + 7

Conclusion: Odd numbers or not compounds primes of the form 10n + 7 are organized in the organization odd numbers compounds as 10n +7.

5.b Diagram rejoined the primes of the form 10n + 3 :

Remarks:

All the odd numbers of the form 10n + 3, are either first or compounds
Odd numbers of compounds form 10n+3, can only have two forms: is 10n+3= (10k₁+3) (10k₂+1) or 10n+3= (10k₃+7) (10k₄+9) where k₁; k₂; k₃et k₄ are integers

Taking U₁= (10k₁+3) (10k₂+1) and U₂= (10k₃+7) (10k₄+9).

Consider the following table:

Table B

10k₁+3	10k₂+1	10k₃+7	10k₄+9
3	11	7	9
13	21	17	19
23	31	27	29
33	41	37	39
43	51	47	49
53	61	57	59
63	71	67	69
73	81	77	79
83	91	87	89
93	101	97	109



infinite	infinite	infinite	Infinite

This picture, in the first table image is the schema that organizes the distribution of compounds odd numbers ending in 3, that is to say of the form : 10n+3.

Enumerate for example, 7 odd primes compounds as 10n + 3, it will: 3*11 ; 3*21 ; 3*31 ; 3*41 ; 7*19 ; 13*11 ; 3*51 so (33 ; 63 ; 93 ; 123 ; 133 ; 143 ; 153)

After the first 7, 5 list the odd numbers following compounds was: 3*61 ; 7*29 ; 3*71 ; 3*81 ; 7*39, so (183 ; 203 ; 213 ; 243 ; 273).

By putting together odd numbers compounds, will: 33 ; 63 ; 93 ; 123 ; 133 ; 143 ; 153 ; 183 ; 213 ; 243 ; 273.

Like the first case, we go through the same process of successive odd composite numbers to deduce the odd integers no compounds or primes of the form 10n + 3. Thus, the prime numbers for this compounds integer list are : 43 ; 53 ; 73 ; 83 ; 103 ; 113 ; 163 ; 173 ; 193 ; 203 ; 253 ; 263.

N.B : 3 ; 13 and 23 are less than the smallest composite odd number ending in 3 who is 33.

By adding 3 ; 13 et 23 on a : 3 ; 13 ; 23 ; 43 ; 53 ; 73 ; 83 ; 103 ; 113 ; 163 ; 173 ; 193 ; 203 ; 253 ; 263.

Conclusion: Odd numbers or not compounds primes of the form 10n + 3, are organized in the organization odd numbers compounds as 10n + 3

5.c Diagram rejoined the primes of the form 10n + 1

Remark:

All the odd numbers of the form 10n + 1, are either first or compounds
Odd numbers compounds as 10n + 1, can have three forms: either

10n+1= (10k₁+3) (10k₂+7) ou 10n+1= (10k₃+9) (10k₄+9) et ou 10n+1= (10k₅+1) (10k₆+1) où k₁, k₂; k₂ ; k₃ and k₄ k₅; k₆ are natural numbers.

Is U₁= (10k₁+3) (10k₂+7) ; U₂= (10k₃+9) (10k₄+9) et U₃= (10k₅+1) (10k₆+1).

Consider the following table:

Table C

10k₁+3	10k₂+7	10k₃+9	10k₄+9	10k₅+1	10k₆+1
3	7	9	9	11	11
13	17	19	19	21	21
23	27	29	29	31	31
33	37	39	39	41	41
43	47	49	49	51	51
53	57	59	59	61	61
63	67	69	69	71	71
73	77	79	79	81	81
83	87	89	89	91	91
93	97	99	99	101	101



infinite	Infinite	infinite	infinite	infinite	infinite

This table consists of three parts: Part red, one yellow and one more in green, is the schema that organizes all odd composite numbers ending in 1, that is to say of the form 10n+1.

Enumerate for example, the first 8 odd numbers compounds of this table, we : 3*7 ; 3*17 ; 9*9 ; 3*37 ; 7*13 ; 11*11 ; 3*47 ; 3*57 d’où : (21 ; 51 ; 81 ; 91 ; 111 ; 121 ; 141 ; 171).

Prime numbers ending in 1, this list : 11 ; 31 ; 41 ; 61 ; 71 ; 101 ; 151 ; 161.

Conclusion: Odd numbers or not compounds primes of the form 10n + 1, are organized in the organization odd numbers compounds as 10n + 1

5.d Diagram rejoined the primes of the form 10n + 9:

Remark :

All odd numbers of the form 10n + 9 are either first or compounds.
Odd numbers compounds as 10n + 9 may only have three forms: is

10n+9= (10k₁+3) (10k₂+3) or 10n+9= (10k₃+7) (10k₄+7) and or 10n+9= (10k₅+9) (10k₆+1) where k₁, k₂; k₂ ; k₃ et k₄ k₅; k₆ are natural numbers.
Is U₁= (10k₁+3) (10k₂+3) ; U₂= (10k₃+7) (10k₄+7) and U₃= (10k₅+9) (10k₆+1).

Consider the following table:

Table D

10k₁+3	10k₂+3	10k₃+7	10k₄+7	10k₅+9	10k₆+1
3	3	7	7	9	11
13	13	17	17	19	21
23	23	27	27	29	31
33	33	37	37	39	41
43	43	47	47	49	51
53	53	57	57	59	61
63	63	67	67	69	71
73	73	77	77	79	81
83	83	87	87	89	91
93	93	97	97	109	101



infinite	Infinite	infinite	infinite	infinite	infinite

This table consists of three parts: Part red, one yellow and one more in green, is the schema that organizes all odd numbers ending in 9 compounds, that is to say of the form 10n+9.

Enumerate for example, the first 10 odd numbers compounds of this table, we: 3*3 ; 3*13 ; 7*7 ; 3*23 ; 9*11 ; 7*17 ; 3*43 ; 3*53 ; 13*13 ; 9*21 d’où (9 ; 39 ; 49 ; 69 ; 99 ; 119 ; 129 ; 159 ; 169 ; 189

Prime numbers of this list: 19 ; 29 ; 59 ; 79 ; 89 ; 109 ; 139 ; 149 ; 179.

Conclusion: Odd numbers or not compounds primes of the form 10n + 9, are organized in the organization odd numbers compounds as 10n +9 *******************************************************************************************************************************

Theorem : The number of prime numbers of a list of consecutive odd natural numbers of the form 10n+1, 10n+3, 10n+7 or 10n+9 is the sum of twice the number of successive odd numbers of compounds difference 30 and the number of odd numbers compounds of successive difference 20.

NP : amount primes numbers

NC1 : amount of successive odd numbers of compounds difference 30

NC2 : amount of successive odd numbers of compounds difference 20

NP= 2NC1+ NC2

*******************************************************************************************************************************

Exemple : what is the amount of prime numbers odd numbers following successive compounds: 9 ; 39 ; 49 ; 69 ; 99 ; 119 ; 129 ; 159 ; 169 ; 189 ?

Find NC1 et NC2

NC1= (9 ; 39) ; (69 ; 99) ; (129 ; 159)

NC2= (49 ; 69) ; (99 ; 119) ; (169 ; 189)

So NP= 2*3+3=9

Conclusion: Can we associate odd numbers not compounds with odd composite numbers? The answer is certainly not, because one always give birth to others. To the question how divided odd numbers or not compounds are first, back to the question of how are divided odd composite numbers?

N.B : With these charts, we can easily answer the questions: What is the only prime number pn, or how many k (n) of prime numbers less than or equal to n?

APPLICATIONS

APPLICATION 1 : What are the prime numbers less than 1347?

Case of Table A

Prime Numbers ending in 7: Here I divide 1347 by 3. We have: 449 * 3. We are looking all odd numbers compounds in Table A, below 3 * 449, then deduced primes.

Thus, using Table A, prime numbers ending in 7 are lower than 1347: 37 ; 47 ; 67 ; 97 ; 107 ; 127 ; 137 ; 157 ; 167 ; 197 ; 227 ; 257 ; 277 ; 307 ; 317 ; 337 ; 347 ; 367 ; 397 ; 457 ; 467 ; 487 547

557 577 587 607 617 647 677 727 757 787 797 827 857 877 887 907 937 947 967 977 997 1087 1097 1117 1187 ; 1217 ; 1237 ; 1277 ; 1297 ; 1307 ; 1327

Case of Table B

Using Table B, prime numbers ending in 3, 1347 are below: 43 ; 53 ; 73 ; 83 ;103 ; 113 ; 163 ; 173 ; 193 ; 223 ; 233 ; 263 ; 283 ; 293 ; 313 ; 353 ; 373 ; 383 ; 433 ; 443 ; 463 ; 503 ; 523 ; 563 ; 593 ; 613 ; 643 ; 653 ; 673 ; 683 ; 733 ; 743 ; 773 ; 823 ; 853 ; 863 ; 883 ; 953 ; 983 ; 1013 ; 1033 ; 1063 ; 1093 ; 1103 ; 1123 ; 1153 ; 1163 ; 1193 ; 1213 ; 1223 ; 1283 ; 1303

Case of Table C

Using Table C, prime numbers ending in 1, 1347 are below: 31 ; 41 ; 61 ; 71 ; 101 ; 131 ; 151 ; 181 ; 191 ; 211 ; 241 ; 251 ; 271 ; 281 ; 311 ; 331 ; 401 ; 421 431 ; 461 ; 491 ; 521 ; 541 ; 571 ; 601 ; 631 ; 641 ; 661 ; 691 ; 701 ; 751 ; 761 ; 811 ; 821 ; 881 ; 911 ; 941 ; 971 ; 991 ; 1021 ; 1031 ; 1051 ; 1061 ; 1091 ; 1151 ; 1171 ; 1181 ; 1201 ; 1231 ; 1291 ;1301 ; 1321

Case of Table D

Using Table Of prime numbers ending in 9, 1347 are below : 19 ; 29 ; 59 ; 79 ; 89 ; 109 ; 139 ; 149 ; 179 ; 199 ; 229 ; 239 ; 269 ; 349 ; 359 ; 379 ; 389 ; 409 ; 419 ; 439 ; 449 ; 479 ; 499 ; 509 ; 569 ; 599 ; 619 ; 659 ; 709 ; 719 ; 739 ; 769 ; 809 ; 829 ; 839 ; 859 ; 919 ; 929 ; 1009 ; 1019 ; 1039 ; 1049 ; 1069 ; 1109 ; 1129 ; 1229 ; 1249 ; 1259 ; 1279 ; 1289 ; 1319

So the prime numbers less than 1347, is the set of all prime numbers ending in 7, ending in 3, ending with 1 and ending with 9, added the prime numbers 2; 3, 7, 11, 13, 17, 23

**********************************************************************************************************************

N.B : The numbers: 11; 3; 13; 23; 7 and 17 are missing from the list of prime numbers, because they are less than the smallest odd composite numbers for each case. Indeed, 21; 33; 9 and 27 are the smallest odd numbers compounds in each case.

APPLICATION 2 : Table A with the algorithm implemented in machine language, here 6519 first numbers ending in 7 listed in order, generated in less than a second by a microcomputer Toshiba Satellite with a dual core processor 2.20 GHz and 4 GB RAM ( RAM).

164767 164837 164987 165037 165047 165247 165287 165317 165367 165397 165437 165457 165527 165587 165617 165667 165707 165817 165857 165877 165887 165947 166027 166147 166157 166207 166237 166247 166297 166357 166417 166457 166487 166567 166597 166627 166657 166667 166807 166847 166867 166967 166987 167017 167047 167077 167087 167107 167117 167177 167197 167267 167317 167407 167437 167537 167597 167627 167677 167747 167777 167887 167917 167987 168037 168067 168127 168197 168227 168247 168277 168347 168457 168527 168617 168677 168697 168737 168887 168937 168977 169007 169067 169097 169177 169217 169307 169327 169427 169457 169567 169607 169627 169657 169667 169777 169817 169837 169937 169957 169987 170047 170057 170167 170197 170207 170227 170267 170327 170347 170447 170497 170537 170557 170627 170647 170707 170767 170777 170827 170837 170857 170887 170927 170957 171007 171047 171077 171167 171317 171427 171467 171517 171617 171637 171697 171707 171757 171827 171877 171917 171937 171947 172027 172097 172127 172147 172157 172217 172297 172307 172357 172427 172507 172517 172597 172607 172657 172687 172717 172787 172807 172867 172877 172987 173087 173137 173177 173207 173267 173297 173347 173357 173497 173617 173647 173687 173707 173777 173807 173827 173867 173897 173917 173977 174007 174017 174047 174067 174077 174137 174157 174197 174257 174337 174347 174367 174407 174457 174467 174487 174527 174617 174637 174737 174767 174877 174907 174917 175067 175267 175277 175327 175447 175687 175727 175757 175837 175897 175937 176017 176047 176087 176207 196927 197077 197117 197137 197147 197207 197257 197297 197347 197507 197567 197597 197647 197677 197767 197807 197837 197887 197927 197947 197957 198017 198047 198097 198127 198197 198257 198277 198337 198347 198377 198397 198427 198437 198637 198647 198817 198827 198937 198967 198977 198997 199037 199207 199247 199267 199337 199357 199417 199447 199457 199487 199567 199637 199657 199687 199697 199777 199807 199877 199967 200017 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If these 4 tables (4 algorithms), one can readily leave the odd numbers compounds, we can also easily derive the distribution of non compounds odd numbers called primes.
The distribution of prime numbers is far from belonging to chance, as said Gauss « There are no less predict when it is a prime number will appear. » With these 4 tables or algorithms, I have to prove that the prime numbers do not appear random, there is indeed a pattern that organizes distribution.

Bibliography

1) Peter L. Montgomery. Evaluatinf of form X_m+n= f(X_m , X_n , X_m+n)

2) Famous Problems of mathematics Cray lock. New york, p.1-20 et p.121-155

3) SCHOLL P.C.1989 : Algorithms and data representation. Edition MASSON

4) S.DIALLO Use perfect squares in search of a divider of a natural number. Revue 4) Science of the University of Kankan (RESUK) No. 006 June 08 P.52-57)

5) G. Hawing : primality test algorithm, science review Gamal Abdel Nasser in 2014

Thanks

Thank God, the Omniscient, for giving me the science of distribution of prime numbers. I thank my fore Parents Paul and Marie Anne Curtis for giving me life and for watching over my ideological and scientific education. I thank my brother Jacob hawing and my three sisters Elisabeth, Marie Helene and Isabelle for their moral support. I thank my dear wife Stephanie Zohra Bohui, for agreeing to let notebook and pen to take his place in the last seven years. Yes, it is very difficult to be the wife of a scientist, because it is passionate about research by the attention to the woman. I thank the founder of the Mahatma Gandhi University, Mamadou Mouctar Savane, for listening to me, believed and supported, for betting I could do the mystery of the distribution of primes. I bless the day I crossed paths with this gentleman. I thank the Minister and the Minister of Higher Education and Scientific Research Guinean, M.Yéro Balde for his support and encouragement, I thank the minister M.Albert Damantang Camara, for any support that I shall not forget, thank the Company Guinean mathematics, mathematical Society Moroccan, mainly Mostafa Belkasmi, the Company Tunisian mathematical, thank the African mathematical Society in Senegal (AIMS-Senegal), and Fabien Pazuki University Bordeaux1 France. I thank the Russian, Pr. Sebeldin Anatoly, Pr Alpha Lamine Sylla and the god of Maths. My thanks also go to the place of the teaching staff of the University Mahatma Gandhi, in the place of Mr. Soumare Fode Idrissa, the programmer that is available to us day and night tirelessly to translate this algorithm language machine. I thank my friends 40^th Electrical and my students. I thank the Guinean news sites and radio stations (RTG, guinee7.com, actuconakry, gbassikolo, visionguinee, guinéenews, mediaguinée, aminata.com, factuguinée, evasionguinee, espacefm, espaceTV, gagan TV, guinéetimes Guinea etc …) and Pan-African sites that have always agreed to sell my image and publish my articles against any franc in time and against time. I say thank you to all my friends social networks that have supported me with their message and appeal. Finally, the hand on the chest I say thank you to my trainers. Without them I would not be where I am today. Because we say « The strength of a baobab tree is in its roots”.

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Un Guinéen publie une formule mathématique qui met fin à une vieille recherche de plus de 2 000 ans

Voici l’algorithme mathématique de M. Hawing en français et en anglais qui liste par ordre les NP.

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